這是一份最科學(xué)的拋硬幣教程。

我們常會反復(fù)糾結(jié)某個問題而難以迅速作出決定，比如，今晚吃炸醬面還是麥當(dāng)勞；又比如，要不要接受某個工作機會；或者是今晚要不要去跟 TA 表白……

這時，很多人會拋個硬幣，用硬幣的正反面替自己做出選擇。甚至在一些重大場合，人們也常用拋硬幣來做重要決定，比如世界杯球賽中，裁判員會通過拋硬幣決定哪只隊伍先開球。

初中數(shù)學(xué)課本告訴我們，拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣，得到正反面的概率相等。因此，人們認(rèn)為硬幣替自己做出的選擇一定是公正的，沒有私心的。不少數(shù)學(xué)家也做過實驗證明，當(dāng)拋硬幣次數(shù)足夠多時，得到正反面的頻次接近 1:1，包括曾拋了 2 萬多次硬幣的數(shù)理統(tǒng)計學(xué)創(chuàng)始者卡爾·皮爾遜（Karl Pearson）。

但如果我現(xiàn)在告訴你，拋硬幣得到兩面向上的概率其實不相等，你又怎么看？

兩面概率不相等

最近，一群無聊的科學(xué)家聚在一起，用 46 種不同的硬幣拋了 350757 次，總耗時約 20 個小時。然后他們發(fā)現(xiàn)，拋出的硬幣落下后，向上的那一面和硬幣拋出前的初始面相同的概率略高，約為 51%。

他們就這樣拋了 20 個小時的硬幣。來源：Coin Tossing Team via YouTube

也就是說，假如你將硬幣拋離手中時，它是正面向上，那最終硬幣落下時，其正面向上的概率更高，反之亦然。

他們還發(fā)現(xiàn)，一些人拋硬幣得到和起始面相同的那一面的概率更高；而另一些人則更接近理論值，即得到兩面的概率都是 50%。他們將這項研究發(fā)表了在預(yù)印本網(wǎng)站 arXiv 上，還未經(jīng)同行評審。

很顯然，這說明，特定的拋硬幣方式，或許可以讓特定面向上的概率更高。

那么，有沒有可能通過練習(xí)，讓拋出去的硬幣落下時，永遠(yuǎn)是自己想要的那一面向上呢？

理論上是可以的。

數(shù)學(xué)家佩爾西·戴康尼斯（Persi Diaconis）在成為美國斯坦福大學(xué)的數(shù)學(xué)和統(tǒng)計學(xué)教授之前，曾做過魔術(shù)師。他經(jīng)常研究與“賭博”相關(guān)的數(shù)學(xué)，比如如何洗牌、如何擲骰子，當(dāng)然也包括如何拋硬幣。

熱衷于紙牌、骰子、輪盤等的斯坦福數(shù)學(xué)家佩爾西?戴康尼斯。圖片來源：Stanford University

早在 2007 年，戴康尼斯和他的團(tuán)隊就在論文中展示了一個拋硬幣裝置，這個裝置將硬幣拋出后落到指定位置，最終硬幣向上的那一面在 100%的情況下都與它的起始面相同。

戴康尼斯和同事做出的拋硬幣裝置，拋出的硬幣能100%得到與起始面相同的那一面。Diaconis et al, 2007

而人類在用手拋硬幣時，也可以達(dá)到這樣的效果，比如一些魔術(shù)師就可以通過一些技巧控制拋硬幣的結(jié)果。

魔術(shù)師能控制拋硬幣的結(jié)果。來源：SCAM NATION via youtube

其實如果掌握了原理，多加練習(xí)，你也可以做到。所以我們就先來學(xué)習(xí)一下原理，然后大家回家自己練習(xí)。

首先我們需要知道，標(biāo)準(zhǔn)情況下，拋向空中的硬幣是怎樣運動的。

忽略空氣阻力的影響，當(dāng)我們將硬幣拋向空中，硬幣會沿著一個位于硬幣平面且平行于地面的“軸”，做翻轉(zhuǎn)運動。學(xué)過物理的朋友們可以很快反應(yīng)過來，這個“軸”正好是硬幣旋轉(zhuǎn)的角動量（angular momentum）所在的直線。

來源：Numberphile via YouTube

來源：Numberphile via YouTube，制圖：冬鳶

然后我們用一點簡單的中學(xué)物理來分析一下硬幣的運動。

假設(shè)硬幣以初速度vz 從距地面高度z0的手中被拋出，t 秒后落回到手上，那么通過 z0 + tvz ? (g/2)(t)2 = z0 可以計算出 t = vz/(g/2)。

假設(shè)硬幣在空中每秒翻轉(zhuǎn) ω 次。在拋出硬幣到硬幣回到手上的過程中，如果硬幣翻轉(zhuǎn)了偶數(shù)次（即 2j < ωvz/(g/2) < 2j+1，其中 j 為整數(shù)），那么硬幣最終向上的一面與初始面相同；如果翻轉(zhuǎn)了奇數(shù)次（即 2j+1 < ωvz/(g/2) < 2j+2，其中 j 為整數(shù)），則與初始面相反。

來源：wikiHow via YouTube

所以只要你能精確控制硬幣的初速度、高度和翻轉(zhuǎn)速度，就能精確控制拋硬幣的結(jié)果（雖然可能有點強人所難）。

如果我們在硬幣翻轉(zhuǎn)了整數(shù)次時，做出轉(zhuǎn)速ω關(guān)于時間t的圖像，可以得到很多條雙曲線，如下圖所示：

圖片來源：Diaconis et al, 2007

假如硬幣初始面為正面，而翻轉(zhuǎn)速度和時間（ω,t）落在圖中的陰影里，最終正面向上；若是轉(zhuǎn)速和時間位于陰影之外的空白部分，結(jié)果則是反面朝上。

但是，此時陰影部分的面積和空白部分的面積是相等的，得到正面和反面的概率仍然是 1:1。如果要出現(xiàn)上文提到的偏差，又該如何操作呢？

運動

以上分析是基于標(biāo)準(zhǔn)情況，拋出的硬幣沿著平行與地面的“軸”翻轉(zhuǎn)，也就是硬幣旋轉(zhuǎn)的角動量矢量平行于地面。

但戴康尼斯指出，這只是一種特殊情況。實際上，很多人拋出的硬幣在空中旋轉(zhuǎn)時，角動量是與地面不平行的。

仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)這枚硬幣在空中并不是繞著平行與地面的“軸”翻轉(zhuǎn)的。來源：Sound/Video Impressions via youtube

我們可以用如下的模型來解釋：

圖片來源：Diaconis et al, 2007

假設(shè)硬幣拋出時正面向上，則垂直于硬幣平面的法線（ n ）與角動量（M）會存在一個夾角（ψ），當(dāng)硬幣轉(zhuǎn)動的軸與地面不平行（即 ψ 不為 90°）時，硬幣法線 n 就會繞著角動量 M 旋轉(zhuǎn)，這也叫進(jìn)動（precession）。

戴康尼斯正在解釋硬幣翻轉(zhuǎn)中的進(jìn)動。來源：Numberphile via YouTube

若硬幣在拋出后的t時刻落回手上，當(dāng)此時硬幣法線 N(t) 與垂直地面方向的向量 K 的夾角余弦 τ(t) 大于 0 時，硬幣正面向上；小于 0 時，反面向上（起始面為正面）而對于這個余弦 τ(t) ，我們可以用 τ(t)=cos2 ψ +sin2 ψcos(ωNt) 這個式子來計算，其中 ωN 為硬幣法線繞角動量旋轉(zhuǎn)的角速度。

如果我們將硬幣的法線矢量N(t)在空中劃過的區(qū)域看做一個球面，在這樣的運動方式下，法線在上半球（正面向上）停留的時間是大于或等于在下半球（反面向上）停留的時間的。

圖片來源：Diaconis et al, 2007

最終可以算出，如果硬幣的起始面為正面，那么硬幣落回手上時正面向上的概率與 ψ 的關(guān)系是： 

用圖像表示就是

圖片來源：Diaconis et al, 2007

由此可以直觀地看到，在硬幣初始面為正面時，只有當(dāng) ψ 為直角，硬幣落下時正面朝上的概率才是 1/2，其余情況下都大于 1/2。

而當(dāng) ψ 小于 45°時，硬幣雖然也在旋轉(zhuǎn)，但實際上整個過程中，并沒有翻轉(zhuǎn)到另一面。因此，在這種情況下，不論硬幣拋得有多高，最終落下來時依然是和拋出時保持相同的一面向上——這便是拋硬幣魔術(shù)師所使用的手法。

魔術(shù)師拋出的硬幣在空中沒有翻轉(zhuǎn)至另一面。來源：SCAM NATION via YouTube而當(dāng) ψ 為 0°時，硬幣甚至可以沒有豎直方向的翻轉(zhuǎn)，完全直上直下。

來源：Numberphile via YouTube

事實上，這種運動方式在我們生活中非常常見，比較典型的，就是我們的地球。地球在自轉(zhuǎn)的同時，赤道平面的法線也在繞一個軸轉(zhuǎn)動：

看這地球的旋轉(zhuǎn)像不像正在翻轉(zhuǎn)的硬幣？來源：Steven Sanders via youtube

總結(jié)一下就是，因為很多人拋出的硬幣在空中翻轉(zhuǎn)時存在進(jìn)動，導(dǎo)致在給定硬幣初始面的情況下，會使得最終硬幣落回手上時，正反面向上的概率不相等。

不過，由于大多數(shù)人拋硬幣的時候，不會關(guān)注硬幣的起始面。因此，在起始面隨機的前提下，拋硬幣的最終結(jié)果，正反面概率仍然是 1:1（預(yù)印本論文中有證明過程）。

所以，以后如果和別人拋硬幣打賭，你可以練一練上面教的拋硬幣技巧來“作弊”；如果是別人拋硬幣，那就讓他不要用手接，讓硬幣直接掉地上，因為這會使硬幣再彈起來，到空中再翻轉(zhuǎn)幾圈，使結(jié)果更加隨機。

硬幣掉在地上之后再彈起來。來源：Numberphile via YouTube

參考文獻(xiàn)

[1]https://statweb.stanford.edu/~cgates/PERSI/papers/dyn_coin_07.pdf

[2]https://arxiv.org/abs/2310.04153

[3]http://gauss.stat.su.se/gu/sg/2012VT/penny.pdf

[4]https://en.wikipedia.org/wiki/Precession

[5]https://en.wikipedia.org/wiki/Angular_momentum

[6]https://en.wikipedia.org/wiki/Persi_Diaconis

[7]https://www.youtube.com/watch?v=AYnJv68T3MM

[8]https://www.youtube.com/watch?v=A-L7KOjyDrE

[9]https://www.youtube.com/watch?v=qlVgEoZDjok

[10]https://www.youtube.com/channel/UCZF_uxG9yEiuUkaFol16IBg

策劃制作

來源丨環(huán)球科學(xué)

作者｜冬鳶

責(zé)編丨楊雅萍