紙看似柔弱，卻會(huì)在不經(jīng)意間偷襲你的手指。通常是翻書或整理文件時(shí)，你以為手指皮膚和書頁(yè)紙張只會(huì)有蜻蜓點(diǎn)水般的一面之緣，但直至感到指尖隱隱作痛，你才見手指上那道已被血液描紅的輪廓——紙方才輕撫你指尖的瞬間，已然在手指上劃出了一道傷口。

也不知這算不幸還是幸運(yùn)，因?yàn)榧垊澠剖种杆闶切「怕适录?mdash;—平常你就算故意用紙去劃手，很多時(shí)候也劃不破。

這引起了丹麥技術(shù)大學(xué)（Technical University of Denmark）幾位物理學(xué)家的興趣，他們開始查閱研究論文，想知道什么樣的紙，用什么樣的方式，最容易劃破手指。

圖片來(lái)源：原論文

太厚太薄都不行

但他們卻發(fā)現(xiàn)，這么有趣的問(wèn)題竟然沒(méi)有人研究過(guò)？！好吧，既然查閱不到相關(guān)的研究，他們就自己研究！

他們找來(lái)了不同厚度的紙，嘗試用各種角度去切手指，想看看怎樣才最容易切出傷口。不過(guò)鑒于這幾位物理學(xué)家都不太愿意貢獻(xiàn)自己的手指，他們實(shí)驗(yàn)中用的“手指”其實(shí)是用明膠制作的模型。

被紙劃破的真手指（圖片來(lái)源：ComprehensiveItem - Own work, CC BY-SA 4.0）

他們觀察到，在相同的切割角度下，當(dāng)紙很厚時(shí)，切割時(shí)只能讓明膠凹陷下去，但不能成功切開明膠；

很厚的紙讓明膠凹陷（來(lái)源：原論文）

而當(dāng)其它條件保持不變，換用薄一點(diǎn)的紙時(shí)，就能夠切開明膠了——但紙也不是越薄就越好；

薄一點(diǎn)的紙能切開明膠（來(lái)源：原論文）

因?yàn)楫?dāng)他們換用更薄的紙時(shí)，紙不僅沒(méi)能切開明膠，還把自己給壓彎了。

太薄的紙會(huì)壓彎自己（來(lái)源：原論文）

此外，他們還測(cè)試了不同切割角度下，紙切破明膠手指的難易程度。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，切割時(shí)紙和明膠表面的夾角越小，越容易切開口子。

總結(jié)一下就是，紙的切割角度越小越容易切開明膠；但在給定切割角度下，紙?zhí)窕蛱《记胁婚_明膠。

紙劃手的三種結(jié)果（圖片來(lái)源：原論文）

為什么會(huì)出現(xiàn)這樣的變化趨勢(shì)呢，最容易切開手指的厚度和角度又是多少呢？

越薄越“鋒利”？

首先我們來(lái)探究一下，為什么在相同切割角度下，相對(duì)薄一點(diǎn)的紙更容易切開皮膚。

便于理解的解釋是——紙?jiān)奖【驮健颁h利”。在切割皮膚時(shí)，紙施加給皮膚的所有力都集中在紙和皮膚間的接觸表面上。而紙?jiān)奖。c皮膚間的接觸面積就越小，因此施加相同的力時(shí)，皮膚在單位面積上所受的力會(huì)更大，即“應(yīng)力”（stress，σ=F/s）更大。

紙向皮膚施加的應(yīng)力會(huì)有兩種作用，一是讓皮膚表面向下凹陷形變，二是將接觸面兩邊的皮膚向兩側(cè)拉扯。

紙劃明膠的物理模型（圖片來(lái)源：原論文）

當(dāng)向兩側(cè)拉扯皮膚的應(yīng)力（即“剪切應(yīng)力” shear stress——應(yīng)力在與皮膚表面切向的分量）超過(guò)皮膚的承受范圍時(shí)（取決于皮膚的楊氏模量和斷裂硬度），皮膚就會(huì)被撕裂開（發(fā)生塑性形變），即被紙切開了。

而前文說(shuō)到，紙?jiān)奖。瑧?yīng)力越大，顯然更容易超過(guò)皮膚的承受范圍，從而切開皮膚。此外，切割角度越小，應(yīng)力在皮膚表面切向的分量“剪切應(yīng)力”就越大，也更容易切開皮膚。

切割角度與紙的厚度對(duì)紙是否能切開皮膚的影響（圖片來(lái)源：原論文）

那為什么當(dāng)紙過(guò)薄的時(shí)候，又切不開皮膚了呢？

太薄也不行

紙?zhí)。瓦^(guò)于柔弱了。

在以上的分析中，我們其實(shí)假定紙是不會(huì)形變的，但在開頭的實(shí)驗(yàn)中我們可以看到，過(guò)于薄的紙，在切割過(guò)程中會(huì)發(fā)生彎曲——這是因?yàn)樘〉募垙?qiáng)度較低，自身承受不了切開皮膚所需的應(yīng)力。

這在工程力學(xué)上叫做“屈曲”或“壓曲”（buckling），即柱子或橫梁等結(jié)構(gòu)在承受過(guò)大的壓縮負(fù)荷時(shí)，突然彎曲或形變的情況。

材料發(fā)生屈曲（圖片來(lái)源：Mircalla22 (talk)- Public Domain）

在實(shí)際生活的應(yīng)用中，工程師在工程設(shè)計(jì)時(shí)必須仔細(xì)考慮屈曲問(wèn)題，以確保結(jié)構(gòu)保持安全和穩(wěn)定，尤其是在重載情況下。

天太熱，鐵軌受熱膨脹發(fā)生屈曲（圖片來(lái)源：Railpedia.nl - CC BY-SA 3.0）

而對(duì)于過(guò)薄的紙，它們?cè)谶_(dá)到能切開皮膚所需的應(yīng)力之前就發(fā)生了屈曲，因此不足以切開皮膚。

通俗點(diǎn)說(shuō)，紙能不能切開皮膚，實(shí)際上是看在應(yīng)力增加的過(guò)程中，紙和皮膚誰(shuí)先達(dá)到承受極限——先達(dá)到皮膚的極限就可以成功切開皮膚，先達(dá)到紙的承受極限就會(huì)讓紙發(fā)生屈曲。

“最危險(xiǎn)”的紙

越薄的紙?jiān)戒h利，但也更容易達(dá)到自身發(fā)生屈曲的極限。而當(dāng)一張紙能夠給皮膚的最大應(yīng)力，剛剛能夠切開皮膚，又剛剛不至于發(fā)生屈曲時(shí)，這種厚度的紙就是最容易劃傷手指的紙。于是這幾位物理學(xué)家算了算，厚度 65 微米的紙就剛好滿足這個(gè)條件。

他們還算出，在真實(shí)生活中， 65 微米厚的紙能成功切開手指的可能性為 21%，換句話說(shuō)，如果你翻閱的紙厚度剛好為 65 微米，那么平均這種紙每劃過(guò)你的手指五次，就有一次成功劃傷手指，好危險(xiǎn)！

那么我們生活中什么紙的厚度最接近 65 微米呢？許多點(diǎn)陣打印機(jī)（dot matrix printer）用紙的厚度就剛好是 65 微米，此外，很多報(bào)紙的厚度也差不多。

一種點(diǎn)陣打印機(jī)（圖片來(lái)源：Nakamura2828 at us.wikipedia - CC BY-SA 3.0）

但作為科研人員，這幾位物理學(xué)家專門指出：兩大學(xué)術(shù)期刊《科學(xué)》（Science，55 微米）和《自然》（Nature，49 微米）厚度很接近 65 微米，也十分危險(xiǎn)！

圖片來(lái)源：論文作者

找到“最危險(xiǎn)”的紙之后，這幾位科學(xué)家還專門通過(guò) 3D 打印，制作了一種刀架，可以把 65 微米厚的紙當(dāng)成刀片使用（3D 打印數(shù)據(jù)已上傳，可自行下載 ），據(jù)說(shuō)切蔬菜雞肉啥的賊輕松！

紙刀（圖片來(lái)源：原論文）

他們已經(jīng)將該研究過(guò)程整理成論文，發(fā)表在了期刊《物理評(píng)論 e》（Physical Review E）上，感興趣可以去讀一讀。

參考文獻(xiàn)

[1]https://journals.aps.org/pre/accepted/aa072Kc5A071ae0708c39799a466b7d26e3ac2a0e#abstract

[2]https://github.com/Jensen-Lab/PhysicsOfPaperCuts/tree/main