春節(jié)期間，電影《流浪地球2》和電視劇《三體》“喂飽”了不少喜愛科幻的觀眾朋友。在觀劇、觀影的同時，大家對這兩部作品中出現(xiàn)的相關(guān)科學(xué)術(shù)語和相關(guān)問題也產(chǎn)生了極大的興趣，比如洛希極限、三體問題等。

這兩天，搜狐創(chuàng)始人張朝陽還在他的線下物理課上談到了關(guān)于《流浪地球2》中的一些設(shè)計，并且還建議《流浪地球3》可以以拉格朗日點(diǎn)來發(fā)展劇情。

圖片來源：新浪微博截圖

對于天文愛好者來說，“拉格朗日點(diǎn)”這個詞語可能并不陌生。它以法國科學(xué)家拉格朗日命名。當(dāng)年嫦娥四號的通信中繼衛(wèi)星鵲橋號，就是處在拉格朗日點(diǎn)來保證嫦娥四號與地球的通信的。

處于拉格朗日 L2 點(diǎn)的鵲橋號為嫦娥四號提供通信支持。圖片來源：中國航天科技集團(tuán)

那么問題來了，“拉格朗日點(diǎn)”到底是哪個點(diǎn)？為什么要以拉格朗日的名字命名？今天就讓我們來了解一下。

01

歐洲最偉大的數(shù)學(xué)家

拉格朗日

約瑟夫-路易·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）是法國籍意大利裔的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家。他的主要成就在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，并使用數(shù)學(xué)分析的方法來研究力學(xué)和天文學(xué)。

有不少人在學(xué)習(xí)微積分的時候，都被拉格朗日中值定理——這條看似簡明的定理衍生出來的各種花樣試題燒毀過不少腦細(xì)胞。而除了拉格朗日，大學(xué)基礎(chǔ)課里的巨頭還有三位：拉普拉斯、傅里葉和泊松，其中第一位是他的同事，后兩位是他的學(xué)生……

拉格朗日，圖片來源：Wikipedia

確切地說，拉格朗日不能稱“意大利裔”，終其一生，意大利的版圖都是破碎的。

他在都靈出生，當(dāng)時屬于薩伏依王室統(tǒng)治下的撒丁王國。拉格朗日的父親在都靈任公共事務(wù)和防務(wù)辦公室的財務(wù)主管，按說應(yīng)該挺富裕的，但是這位父親把錢用到失敗的金融投機(jī)上，所以拉格朗日的家境并不好。

他的父親計劃讓他當(dāng)一名律師，當(dāng)時拉格朗日似乎也認(rèn)命了。他就讀于都靈學(xué)院，最喜歡的科目是古典拉丁語。起初他對數(shù)學(xué)并沒有什么興趣，覺得希臘幾何學(xué)枯燥乏味。

但是當(dāng)他讀到哈雷——對，就是哈雷彗星的哈雷——的一篇介紹使用數(shù)學(xué)確定透鏡焦點(diǎn)的論文之后，頓時覺得人生有了新方向——也許整個數(shù)學(xué)界都要感謝拉格朗日的父親投機(jī)失敗，因?yàn)榘凑绽窭嗜盏脑捳f：假如我有錢的話，可能就不會投身數(shù)學(xué)了。

除了“投資失敗”的父親之外，拉瓦錫對拉格朗日也有很大幫助。1786 年，拉格朗日離開柏林，到巴黎科學(xué)院工作。到巴黎剛滿三年，法國大革命就爆發(fā)了。1793 年，國民公會決定清理科學(xué)院，在拉瓦錫的極力維護(hù)下，拉格朗日被免于驅(qū)逐。

拉瓦錫肖像，圖片來源：Wikipedia

但是拉瓦錫自己很不幸。1794 年 5 月 8 日，他被送上了斷頭臺。拉格朗日悲傷地說：砍下這顆頭只是一瞬間，再找個這么杰出的腦袋，一百年也不夠。

拉格朗日的杰出貢獻(xiàn)還有群論中的拉格朗日定理、數(shù)論的四平方和定理、微積分的拉格朗日乘數(shù)法、變分法的歐拉-拉格朗日方程。他開創(chuàng)了分析力學(xué)中的拉格朗日力學(xué)，推動了天文學(xué)的力學(xué)分析化。

作為法國經(jīng)度局的度量衡委員會首屆委員，拉格朗日推動了公制（國際單位制的前身）的制定。我們現(xiàn)在熟知的米、千克等單位，就是基于那時的最初定義。我們看看和他基本同時代的這些名字：拉瓦錫、拉普拉斯、勒讓德、赫歇耳、庫侖、伏特、瓦特、康德……基本上就可以感受到他對于現(xiàn)代科學(xué)的意義了。

02

航天領(lǐng)域的關(guān)鍵點(diǎn)

拉格朗日點(diǎn)

隨著科技的發(fā)展，拉格朗日的大名不再僅限于教科書。

現(xiàn)在，在空間研究和航天科技領(lǐng)域相關(guān)的新聞里，大眾常常能聽到一個詞，就是“拉格朗日點(diǎn)”。比如：鵲橋號中繼衛(wèi)星在地月系的拉格朗日點(diǎn)附近運(yùn)行，提供月球背面和地球的通信服務(wù)；詹姆斯·韋布太空望遠(yuǎn)鏡安置在拉格朗日點(diǎn)，對“大爆炸”早期的宇宙景象進(jìn)行觀測……

那么，“拉格朗日點(diǎn)”到底是哪個點(diǎn)呢？在了解拉格朗日點(diǎn)之前，我們不妨先來自己思考一個有趣的小問題：以地球和太陽為例，在地球公轉(zhuǎn)軌道面的哪個位置放個小天體，可以使這個小天體圍繞太陽公轉(zhuǎn)時，還具有與地球相同的公轉(zhuǎn)周期，并且與太陽、地球的相對位置保持不變呢？

請大家淺淺地思考一分鐘……這實(shí)際上是三體問題的一組特殊解。，是一種特殊的平動狀態(tài)。早在 1767 年，歐拉就求出了這個限制條件下的三個特解。

歐拉，圖片來源：Wikipedia

隨后，1772 年，作為歐拉的非正式卻得了真?zhèn)鞯膶W(xué)生，拉格朗日又算出了兩個。這五個特解在公轉(zhuǎn)軌道附近所對應(yīng)的位置，叫做“拉格朗日點(diǎn)”（又稱平動點(diǎn)），分別編號為 L1、L2、L3、L4 和 L5。

五個拉格朗日點(diǎn)的平動示意圖，圖片來源：Wikipedia這五個序號不是隨意編的，每個數(shù)字對應(yīng)一個唯一的位置。以太陽和地球?yàn)槔?/p>

L1 在日地之間的連線上，并且距離地球更近些。

L2 在日地的連線延長線上，在地球一側(cè)，或者說，在地球陰影方向。

L3 在地日的連線延長線上，在太陽一側(cè)，地球的對面，和太陽的距離基本等于日地距離。

L4 和日地成等邊三角形，引領(lǐng)著地球運(yùn)行。

L5 和日地成等邊三角形，跟隨著地球運(yùn)行。

其中 L1 到 L3 是歐拉求得的結(jié)果，L4 和 L5 是拉格朗日求得的。

五個拉格朗日點(diǎn)，圖片來源：NASA

可以看出，L1、L2 一個在地球軌道內(nèi)側(cè)，一個在外側(cè)，如果不考慮地球的話，內(nèi)圈的應(yīng)該跑得比地球慢，外圈的應(yīng)該跑得比地球快才對。不過，這里有個“如果”。

地球引力會對 L1 的小天體說“等等我！”對 L2 的小天體，則是喊“跟緊些，別掉隊(duì)！”結(jié)果，雖然距太陽有遠(yuǎn)有近，但 L1、地球、L2 卻以同樣的角速度奔跑在黃道面上。

L1 的小天體總是懸停于地球的白晝一方，L2 的小天體則始終逗留在黑夜的那一面。這真是太好玩了。確切地說，五個拉格朗日點(diǎn)都是圍繞太陽和地球的公共質(zhì)心轉(zhuǎn)繞的，這個質(zhì)心在太陽中心偏向地球約 450 千米的位置，和太陽 696340 千米的半徑相比，可以忽略不計。

看到這里，可能很多朋友都會默認(rèn)拉格朗日點(diǎn)就是太陽、地球、月球之間的事兒吧？其實(shí)并不是，只要是類似的天體系統(tǒng)，都有這樣的解存在，不過在本文里，拉格朗日點(diǎn)指的就是從 L1 到 L5 這些點(diǎn)。

03

在拉格朗日點(diǎn)

放一個小衛(wèi)星會發(fā)生什么？

拉格朗日點(diǎn)是數(shù)學(xué)里的理想特解，而在現(xiàn)實(shí)世界里，并不能一勞永逸地把探測器放到拉格朗日點(diǎn)從此撒手不管了。

五個拉格朗日點(diǎn)的穩(wěn)定性是不同的，就像把一個蘋果頂在頭頂或擱在碗底，它對外界干擾的表現(xiàn)完全不一樣。放置在 L1、L2 或 L3 的小天體，如果受到其他天體的干擾（很常見，比如月球）而偏離一點(diǎn)點(diǎn)，就會持續(xù)偏離，越走越遠(yuǎn)；而放在 L4 或 L5 的，只要日地質(zhì)量比大于 25（當(dāng)然），它即使被其他行星攝動拉偏，也能畫一個蠶豆?fàn)畹那€飄蕩回來。

所以，如果我們把探測器放到 L1、L2 或 L3，就要給它多備一些調(diào)整位置和姿態(tài)的推進(jìn)劑，而對于 L4 或 L5 就可以節(jié)省許多。

不過，L4 和 L5 有別的煩惱：因?yàn)樗鼈兒芊€(wěn)定，所以許多天然的小天體也容易聚集在這里，安排在這里的探測器被撞壞的幾率比其他三個點(diǎn)高很多。

人們根據(jù)拉格朗日點(diǎn)的特性，為特殊性質(zhì)的太空探測設(shè)計了一些量身定制的方案。

1. 拉格朗日點(diǎn)——L1L1 在日地之間，所以研究太陽的探測器就放置在這里，它們距離地球 150 萬千米左右，在月球軌道以外，永遠(yuǎn)不會掉進(jìn)地球或月球的陰影，可以持續(xù)觀測太陽。太陽及日光層探測儀（SOHO）、深空氣候觀測站（DSCOVR）就被部署在這里。

中國的嫦娥五號軌道器完成登月任務(wù)后，由于項(xiàng)目進(jìn)展順利，推進(jìn)劑充足，所以加個班，飛到日地 L1 開展了一些太陽探測任務(wù)。

在 L1 工作的 SOHO，圖片來源：NASA

我們說過，L1 不是個穩(wěn)定點(diǎn)。并且，假如真把探測器精確放到 L1 的話，太陽輻射就會完全來自同一方向，淹沒探測器發(fā)來的信號（這個現(xiàn)象叫“日凌”）。所以，放在 L1 的探測器實(shí)際上沿著一個暈輪軌道（HALO orbit）環(huán)繞 L1 畫圈運(yùn)行。

2. 拉格朗日點(diǎn)——L2L2 在地球陰影方向，距離地球也是 150 萬千米左右。

從這里看到的地球和月球都是暗面，而且這里位于地球的磁層尾部，太陽風(fēng)的干擾也較低，所以，這個位置適合背對太陽靜賞夜空。探測宇宙“大爆炸”余輝、凝望宇宙超深空的一些任務(wù)，就可在此進(jìn)行。

威爾金森微波各向異性探測器（WMAP）、普朗克巡天者（Planck）、詹姆斯·韋布太空望遠(yuǎn)鏡（JWST）先后被安排在這里。前兩者的任務(wù)都是調(diào)查宇宙微波背景輻射，JWST 則用于研究“大爆炸”之后第一批恒星和星系的形成和演化。

詹姆斯·韋布太空望遠(yuǎn)鏡在 L2 和地球同步公轉(zhuǎn)，圖片來源：Wikipedia

地月系的 L2，也是個有趣的存在。咱們的鵲橋號也在這里工作，它始終在月球的背面一方，同步跟隨月球繞地運(yùn)行。這樣，它就可以把月球背面嫦娥四號和玉兔二號的信息傳到地面上來。

鵲橋號會圍著 L2 畫圈圈，所以地球始終能接收到它的信號，不會被月球遮攔。

3. 拉格朗日點(diǎn)——L3目前還沒有哪些航天器在 L3 工作。

這里和地球之間隔著太陽，從 L3 獲得的信息無法直接到達(dá)地球。而且，這個位置難以保持穩(wěn)定，身邊沒有地球罩著，面前還時不時竄過一個金星，對軌道干擾相當(dāng)嚴(yán)重?？墒?，科幻小說特別鐘愛這個地方，常常在這里描繪一個“反地球”，埋伏一群外星人，借著太陽掩護(hù)，偷偷地暗算我們。

那么，萬一這兒真有個反地球怎么辦？大家不用擔(dān)心，有探測器跑到這里看過了，確實(shí)什么都沒有。

4. 拉格朗日點(diǎn)——L4 和 L5L4 和 L5 也有永晝的特點(diǎn)，而且這兩個點(diǎn)的穩(wěn)定性容易維持，也很適合研究太陽，但它們和地球距離太遠(yuǎn)（等于日地距離），并且研究太陽的工作有個 L1 基本夠用了，目前還沒有開發(fā)它們的急迫需要，有一些探測器到過這里，卻都沒有久留，例如斯皮策太空望遠(yuǎn)鏡（SST）、日地關(guān)系天文臺（STEREO）。

L4、L5 分別與地球、太陽形成等邊三角形。圖片來源：researchgate

如果真要用到這兩個點(diǎn)，那么 L5 比 L4 更有價值一些。因?yàn)?L5 位于太陽自轉(zhuǎn)的上游。當(dāng)太陽風(fēng)暴爆發(fā)時，L5 可以比地球提前四天知道，為地球發(fā)來預(yù)警。

歐洲空間局的 Vigil 就準(zhǔn)備把一枚探測器放到這里。不過其主要目的不是太陽風(fēng)暴預(yù)警，而是和另一枚放置在 L1 的探測器協(xié)同研究太陽風(fēng)暴：當(dāng) L1 遭受正面沖擊時，L5 可以提供側(cè)面視角。

順便說一下，在定名“Vigil”之前，這項(xiàng)計劃的名字就叫“拉格朗日”?？苹眯≌f或漫畫也比較鐘情 L4 和 L5，因?yàn)樗鼈冸x地球比較遠(yuǎn)，位置穩(wěn)定，附近的自然小天體積蓄較多，礦產(chǎn)豐富，能攻能守，是星際殖民題材的常用故事背景。希望有朝一日，這些科幻小說中幻想的可以實(shí)現(xiàn)。